Cambio de apellido paterno sin estar reconocida

Tengo una hija de un mes y medio de edad, al momento de nacer le puse el apellido de quién pensé era su padre biológico (este no la reconoció) pero con el paso de los días descubrí que la duda que tuve durante todo el embarazo era real y el padre de mi hija era mi ex pareja.

Hable con el y piensa hacerse cargo pero no sabe aún que ella tiene el apellido de otra persona. Necesito cambiar el apellido de mi hija al de su verdadero padre, antes de que el valla a reconocerla y no se si esto es posible, dónde debo hacerlo y que costos tiene.

Y en el caso de que esto no sea posible tampoco se que opciones tengo de poder cambiarlo ya que el apellido que lleva nunca debió tenerlo. Hasta el momento no me he dirigido a ningún lugar debido a que me avergüenza un poco la situación pero el tiempo me juega en contra y no quiero que el papá dude de su paternidad producto del apellido que lleva la niña.

Nicole Rosales Venegas