Custodia de hijo para postular a casa

Tengo mi pareja mujer y tenemos un hijo en común. Ella es casada pero no vive con su ex desde hace 10 años, nosotros llevamos 5, mi consulta es la siguiente: para postular a casa por medio de Serviu, el comité donde estoy me está pidiendo que tenga la custodia yo de mi hijo y dijeron que debo hacerlo en el registro civil. ¿Me podrían orientar con eso?, yo con ella no tenemos problemas, dicen que así me saldría la casa mas rápido por ser padre soltero con hijo.

Yo tampoco quiero que postule mi pareja, como no es separada el marido podría quitarle la casa si es que está a su nombre y mi hijo quedaría sin nada, mi hijo solo tiene 4 años. ¿Qué puedo hacer en este caso? ya que si no tengo ese papel no podría postular, ella está de acuerdo en darme la tuición o custodia, lo que nos interesa más es tener la casa para nuestro hijo y vivir tranquilos. Les agradecería que me orientaran para tomar una decisión, solo me falte ese papel, ¿está dentro de la ley lo que me piden o es algo ilegal? para poder reclamar.

Oscar