Dudas sobre el contrato de trabajo laboral

Al firmar un contrato de trabajo (sector municipal), que se encuentra sujeto a un convenio con una institución de estado, si el alcalde no quisiera firmar el convenio quedaría inhabilitado en contrato, aún cuando por protocolo siempre se nos ha llamado de personal y luego ha firmado él? Es legal además mantener al empleado en su trabajo sin un contrato con todas las firmas por casi 2 meses?
Existen posibilidades de solicitar indemnización en caso de despido o hacer valer el contrato ya firmado, aaun cuando no este firmado.

Además están los días ya trabajados desde el inicio del año y planificaciones firmadas por el alcalde, en las que aprueba tanto el pesupuesto, como a las personas contratadas. La modalidad de contrato es a contrata, esto dificultaría las acciones que se puedan tomar enpro de los trabajadores?

Carmen