Padre biológico con desequilibrio

Tengo un hijo de 1 año 9 meses, el lleva mis apellidos, ya que su padre biológico luego de de exigir un ADN no lo reconoció, pero si en un par de ocasiones ayudo económicamente, solo vio al niño una vez, yo ya tengo una pareja estable y vivimos con el mi hijo y yo, mi hijo a mi pareja le dice papá y se aman mucho, el miedo que tengo es que su padre biológico le ponga sus apellidos y exija visitas, el es un hombre con adicción a la marihuana y con cierto desequilibrio en su personalidad, con mencionar que ya en un episodio renuncio a su paternidad, mi novio tiene serias intenciones de de poner sus apellidos a mi hijo.

El padre biológico tendría derecho sobre mi hijo, aunque el ya tuviera el apellido de mi novio? Podría exigir poner su apellido? Que sea adicto me beneficia? En realidad yo no quiero pensión ni nada, solo quiero el bienestar para la vida de mi hijo, un padre con valores, que lo eduque y lo vea crecer feliz, no lleno de dudas!

Maria José