Pasos a seguir por entrega de custodia

Mi esposo tiene un hijo extra marital el cual tiene tres años el ha pagado pensión todo este tiempo ahora la mamá le entrego la custodia por razones personales quisiera saber que pasos hay que seguir después que tengamos al niño con nosotros esto esta en trámites de juzgado pero que pasara después con respecto al menor tengo yo que firmar algún trámite ya que seré yo quién lo cuide o mi esposo debe firmarme a mi un poder sobre el niño ya que tendré que hacer los trámites para inscribirlo en un consultorio después el colegio en fin.

Además yo tengo programado un viaje a Argentina en febrero y me lo voy a llevar que pasara en ese caso no lo puedo dejar solo acá y que posibilidades tenemos como para poder cambiar su apellido materno y lleve el mismo de mis hijos se puede hacer o no por favor espero su pronta respuesta.

Ximena