Quiero quitarle el apellido paterno a mi hija de 4 años

Tengo una niña de 4 años y el papá la dejo de 2 meses ahora tengo una pareja y el se a hecho responsable de mi niña pero quiere meterla al servicio medico y no puede por los apellidos que puedo hacer para quitarle los apellidos de el padre biológico ya que el nunca nos a ayudado tengo ya otra bebé pero esta si tiene apellidos de mi actual pareja.

También queremos que sus documentos salgan con el apellido de mi pareja de el papá biológico no he sabido nada desde hace 4 años ni dónde vive si se caso no se absolutamente nada de el que puedo hacer para cambiar los apellidos de mi hija ya que nunca le a dado nada a la niña y el quiere beneficiarla dándole servicios médicos y todo queremos que sus documentos salgan con su apellido he pensado en registrarla en el estado y ya no usar su acta de nacimiento pero no se si esto sea legal o me pueda meter en un problema o si tenga que pagar fianza por hacer eso soy de México.

Itzel