Cambio de apellido de padre por no ser biológico

Cuando tenía 19 años tuve a mi hija, el cual actualmente tiene 14 años. En ese momento me sentía sola ya que el papá biológico de mi hija se alejó; un amigo se me empezó acercar, luego fuimos pareja y el reconoció a mi hija como padre biológico. Lamentablemente después de un tiempo terminamos, pasaron varios años y me volví a encontrar con el padre biológico de mi hijo. Lo disculpé y ya llevamos más de cuatro años juntos. Mi hija sabe que aunque tenga otro apellido el que le corresponde es otro, le tuve que contar lo que pasó cuando era joven y ella me disculpo por ese error.

Ahora necesito cambiarla el apellido y no sé cómo hacerlo. Yo conversé con la persona que le dio el apellido a mi hija y el no tiene ningún problema con cambiárselo o con hacerse algún examen, ya que sabe que no es su hija. Este año mi hija está en primero medio y me gustaría que tuviera el apellido que corresponde, ya que no insistí antes porque ya todos la conocían con ese apellido y ella no quiso que se lo cambiara antes, pero ahora lo quiere, pero no sé cómo hacerlo. ¿Qué debo hacer, y cuanto vale más o menos?

Jeanette Ana