Cambio de los primeros dos nombres

Mi nombre es Nicols Jiménez y necesito asesorarme sobre el valor y el tiempo de demora que se requiere para un cambio de nombre para una persona transgénero, mi pareja se llama Yvanna Yelena pero lleva mucho tiempo conocido como Dante Eathan, y necesitamos saber lo ya establecido.

Se le estará muy agradecido de vuestra ayuda, ya que queremos formar una familia y casarnos mediante unión civil, pero con el nombre que le acomoda a mi pareja que seria el nombre varonil que mencione anteriormente.
También saber que requisitos y documentos se requiere.
También tengo una duda de si yo me comprometo con una persona transgénero, puedo perder la custodia de mi hija si el padre me demanda por mi condición sexual, ya que tengo una pequeña niña de 6 años y su padre no esta muy de acuerdo con mi decisión.
Espero puedan responder mis dudas, les estaré totalmente agradecida.

Nicols Jiménez