Dar apellido materno a un bebé que no es mi hijo

Quisiera realizar la siguiente consulta. Soy una mujer soltera, sin hijos, tengo 24 años y tengo trabajo estable. Quisiera dar mi apellido a un hijo de mi primo, ya que por varias razones el bebé no va a tener el apoyo económico del papá. Y la mamá no tiene los recursos para ofrecerle un buen bienestar a ese bebé.

El bebé nació hace un par de semanas, nació prematuro y aún no lo han registrado. Si mi primo acepta ser el papá del bebé y le da el apellido, se puede registrar con el apellido del papá y el mío? Que trámites debo hacer.

Esto lo hago de buena voluntad, con el único fin de que ese bebé tenga beneficios. (seguro, subsidio familiar, etc). El bebé vivirá con la mamá. Que implicaciones jurídicas existen si se realiza esto? Que otras implicaciones existen? Que me aconsejaría?

Tatiana R.