Dar mi apellido al hijo de mi pareja

Lo que pasa es que mi pareja tiene un hijo pero no es reconocido solo lleva el apellido de ella y quisiera reconocerlo pero no sabemos como hacerlo que trámites y papeles se necesitaran si es posible hacerlo en Chile o de plano hay que hacerlo en Bolivia puesto que yo soy chileno y ella es de nacionalidad boliviana junto a su hijo.

Lleva dos años viviendo y trabajando en el país tiene ya su permanencia definitiva, yo le ofrecí mi apellido y ella ha aceptado, ya que el se esta criando conmigo me dice papá y ya tenemos planes de tener otro bebé y no quiero que se sienta distinto es por eso que decidimos hacer este trámite, a mi me gusta cuidar de el y sobre todo de esta pequeña familia que estamos formando por eso quería saber si ¿se puede hacer? Y ¿Cómo lo debemos hacer?

Javier A.