Necesito que me paguen mi indemnización por despido injustificado

Junto con saludar y después de haber revisado sus artículos en su página web; quisiera si no es mucha la molestia consultar si procede o no mi despido ante mi empleador.

Antes que nada me presento mi nombre es: Cesar, tengo 28 años y fui empleado de una Isapre desde el 15 de septiembre de 2011. Sin embargo hace ya aproximadamente 4 meses sufrí el suicidio de mi madre y a raíz de esto caí en una profunda depresión que me obligo a presentar licencias médicas continuas en mi trabajo. Pero en mi última licencia tuve el problema de que no la pude entregar dentro de los plazo legales ya que fue emitida el día 15 de Julio y recién la pude presentar el día lunes 20 de julio. Esto por problemas de salud: como crisis de pánico y vértigo periférico, que me impedían trasladarme sólo en la calle y sin contar de la ayuda de terceras personas para hacer el trámite.
En resumidas cuentas en mi trabajo no me aceptaron la licencia indicando que estaba fuera de plazo y que por tal motivo me despedirían por abandono de trabajo sin justificación, sin darme la opción de explicar la situación y sin mediar mayor información de parte de mi empleador.

Y esa es mi consulta me pueden despedir sin indemnización a pesar que mi licencia este fuera de plazo?
Y en el caso de que mi Empleador tenga la razón; yo tengo un justificativo medico de mi psiquiatra en el cual da razón de mi estado de salud y me escusa de mi falta ante la entrega de la licencia fuera de plazo. -.

Ojalá se pueda hacer algo ante esta situación porque en la Inspección del trabajo me dijeron que si procedía el despido y estaba bien justificado.
Pero yo no encuentro que eso sea así, por lo que busco poder apelar y tener una indemnización ante este despido que yo considero no está bien justificado.

Cesar C.